Elementarmathematik Beispiele

$4 \sqrt{3 m^{2} - 15} = 4$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{3 m^{2} - 15})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 m^{2} - 15}$ als ${(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{1} = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$16 (3 m^{2} - 15) = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (3 m^{2}) + 16 \cdot - 15 = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 m^{2} + 16 \cdot - 15 = 4^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 15$ .

$48 m^{2} - 240 = 4^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$48 m^{2} - 240 = 16$

Schritt 3

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $m$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $240$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$48 m^{2} = 16 + 240$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $240$ .

$48 m^{2} = 256$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $48 m^{2} = 256$ durch $48$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $48 m^{2} = 256$ durch $48$ .

$\frac{48 m^{2}}{48} = \frac{256}{48}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $48$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{48 m^{2}}{48} = \frac{256}{48}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $m^{2}$ durch $1$ .

$m^{2} = \frac{256}{48}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $48$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$m^{2} = \frac{16 (16)}{48}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$m^{2} = \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m^{2} = \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m^{2} = \frac{16}{3}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{16}{3}}$ als $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ um.

$m = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$m = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$m = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$m = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$m = 2.30940107 \dots, - 2.30940107 \dots$