Elementarmathematik Beispiele

$e^{n} = 3^{n + 2}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{n}) = \ln (3^{n + 2})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (e) = \ln (3^{n + 2})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$n \cdot 1 = \ln (3^{n + 2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n = \ln (3^{n + 2})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{n + 2})$ durch Herausziehen von $n + 2$ aus dem Logarithmus.

$n = (n + 2) \ln (3)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n = n \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) = - n$

Schritt 6

Addiere $n$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) + n = 0$

Schritt 7

Addiere $2 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- n \ln (3) + n = 2 \ln (3)$

Schritt 8

Faktorisiere $n$ aus $- n \ln (3) + n$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $n$ aus $- n \ln (3)$ heraus.

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Schritt 8.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $n$ aus $n^{1}$ heraus.

$n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1 = 2 \ln (3)$

Schritt 8.4

Faktorisiere $n$ aus $n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1$ heraus.

$n (- 1 \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Schritt 9

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ durch $- \ln (3) + 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ durch $- \ln (3) + 1$ .

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (3) + 1$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3)$ heraus.

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) - 1 (- 1)}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3) - 1 (- 1)$ heraus.

$n = \frac{2 \ln (3)}{- (\ln (3) - 1)}$

Schritt 10.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 10.3.4.1

Schreibe $- (\ln (3) - 1)$ als $- 1 (\ln (3) - 1)$ um.

$n = \frac{2 \ln (3)}{- 1 (\ln (3) - 1)}$

Schritt 10.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Dezimalform:

$n = - 22.28144795 \dots$