Elementarmathematik Beispiele

$4 - \sin (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$4 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Schritt 3

Addiere $2 \sin^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 4$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 3$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 3$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u + 2 u^{2} + 3 = 0$

Schritt 5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 5.7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 5.8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 5.9

Löse in $\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$

Schritt 5.9.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.10

Löse in $\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$

Schritt 5.10.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.11

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung