Elementarmathematik Beispiele

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Schritt 1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Schritt 1.3

Um $\frac{1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Schritt 1.4

Um $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Schritt 1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren von $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ um.

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Schritt 1.7

Subtrahiere $5 \sin (x)$ von $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ mit $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ mit $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1

Bewege $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.3.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.3.3.2

Multipliziere.

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Schritt 3.3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $\sin (x)$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $7 \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 9 \sin (x)$ und $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 6$ , $b = - 2$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $\sin (x)$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $4$ und $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 4.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Schritt 6

Löse in $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Schritt 6.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $1.10430054$ von $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Schritt 7.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Schritt 7.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Schritt 7.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.59416431$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.59416431 + 2 π$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $0.59416431$ von $2 π$ .

$5.68902098$

Schritt 7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.68902098$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$