Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin (\frac{x}{3}) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{3})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{3})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{3})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = - π$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 4 π$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 9

Addiere $6 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $6 π$ zu $- π$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- π + 6 π$

Schritt 9.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$5 π$

Schritt 9.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{3})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$