Elementarmathematik Beispiele

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Ersetze $\cos (x)$ durch einen äquivalenten Ausdruck im Zähler.

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Multipliziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 9 \cos (x)$ heraus.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Separiere Brüche.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.3

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Schritt 11

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Schritt 12

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Vereinfache $\sin (x) \tan (x)$ .

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Schritt 13.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.1.2

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 13.1.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 13.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 14

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 15

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 16.2

Forme den Ausdruck um.

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 17

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 18.2

Forme den Ausdruck um.

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 19

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 20

Ersetze $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ .

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 21

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 21.1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Schritt 21.2

Vereinfache $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ .

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Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 21.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 21.2.1.3

Multipliziere $- - u^{2}$ .

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Schritt 21.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Schritt 21.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

Schritt 21.2.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

Schritt 21.3

Faktorisiere $- 9 u + 8 + u^{2}$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 21.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

Schritt 21.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Schritt 21.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 21.5

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 21.5.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 21.5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 21.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 21.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 21.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 21.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 1$

Schritt 21.8

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 8, 1$

Schritt 21.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

Schritt 21.10

Löse in $\cos (x) = 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 21.10.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $8$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 21.11

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 21.11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 21.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 21.11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 21.11.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 21.11.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 21.11.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 21.11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 21.11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 21.11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 21.11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 21.11.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 21.12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 21.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$