Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 3.6.3

Addiere $4 π$ und $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{7 π}{12}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = 3 \frac{7 π}{3 (4)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{7 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $20 π$ und $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{23 π}{12}$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Schritt 7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{23 π}{12}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = 3 \frac{23 π}{3 (4)}$

Schritt 7.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{23 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{23 π}{4}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{4} + 6 π n, \frac{23 π}{4} + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$