Elementarmathematik Beispiele

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2}

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache

\pm \sqrt{\frac{1}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe

\sqrt{\frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ als

\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Löse in

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4

Vereinfache

$π - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.4.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 6

Löse in

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

$2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

$π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Subtrahiere

$2 π$ von

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 6.4.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als

$2 π$ und gleich

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Addiere

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Addiere

$2 π$ zu

$- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 6.6.2

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.1

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.4.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.6.4.2

Subtrahiere

$π$ von

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$