Elementarmathematik Beispiele

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 1.1.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 10

Separiere Brüche.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 11

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 12

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 14

Separiere Brüche.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 15

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 16

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 17

Separiere Brüche.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 18

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 19

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 20

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Schritt 21

Faktorisiere $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ .

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Schritt 21.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 21.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Schritt 21.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Schritt 21.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Schritt 22

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 23

Setze $1 - \sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 23.1

Setze $1 - \sec (x)$ gleich $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Schritt 23.2

Löse $1 - \sec (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 23.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sec (x) = - 1$

Schritt 23.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sec (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 23.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sec (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 23.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 23.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 23.2.2.2.2

Dividiere $\sec (x)$ durch $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 23.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 23.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Schritt 23.2.3

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 23.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 23.2.4.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 23.2.5

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 23.2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 23.2.7

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 23.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 23.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 23.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 23.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 23.2.8

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 24

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 24.1

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 24.2

Löse $\tan (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 24.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 24.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 24.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 24.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 24.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 24.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 24.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 24.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 24.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 24.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 24.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 24.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 24.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 24.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 24.2.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 24.2.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 24.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 24.2.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 24.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 24.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.2.7.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 24.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 24.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 24.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 25

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 26

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$