Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x) + 3 \cos (x) = 2$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (\frac{3}{1})$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 3.1

Dividiere $3$ durch $1$ .

$θ = \tan^{-1} (3)$

Schritt 3.2

Berechne $\tan^{-1} (3)$ .

$θ = 1.24904577$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$R = \sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$R = \sqrt{1 + 9}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $9$ .

$R = \sqrt{10}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{10}) \sin (x + 1.24904577) = 2$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ durch $\sqrt{10}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ durch $\sqrt{10}$ .

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{10}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sin (x + 1.24904577)$ durch $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{10}$ heraus.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 (\sqrt{10})}{10}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + 1.24904577 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Berechne $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$ .

$x + 1.24904577 = 0.6847192$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $1.24904577$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 0.6847192 - 1.24904577$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1.24904577$ von $0.6847192$ .

$x = - 0.56432656$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x + 1.24904577 = (3.14159265) - 0.6847192$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $0.6847192$ von $3.14159265$ .

$x + 1.24904577 = 2.45687345$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1.24904577$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2.45687345 - 1.24904577$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $1.24904577$ von $2.45687345$ .

$x = 1.20782767$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (x + 1.24904577)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.56432656$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.56432656 + 2 π$

Schritt 13.2

Subtrahiere $0.56432656$ von $2 π$ .

$5.71885873$

Schritt 13.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.71885873$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (x + 1.24904577)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.20782767 + 2 π n, 5.71885873 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$