Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $- 2 \cos^{2} (x)$ durch $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Schritt 11.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Schritt 11.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 11.4.2

Der resultierende Winkel von $2.24568517$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2.24568517$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$