Elementarmathematik Beispiele

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ durch $\tan (\frac{x}{2})$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ durch $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\tan (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ zu dividieren.

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\sin (\frac{x}{2})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Schritt 5

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - 0)$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 (2 π)$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$