Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ um.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{A}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{A}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x - 2)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{A}{x - 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{A (x - 2)}{(x - 2) (x - 2)} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{A (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{A (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{A (x - 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1}} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{A (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{A (x - 2) + B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{A x + A \cdot - 2 + B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.5.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $A$ .

$\frac{A x - 2 A + B}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{A x - 2 A + B - (2 x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{A x - 2 A + B - (2 x) - - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{A x - 2 A + B - 2 x - - 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{A x - 2 A + B - 2 x + 1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$A x - 2 A + B - 2 x + 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A x - 2 A - 2 x + 1 = - B$

Schritt 4.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A x - 2 A + 1 = - B + 2 x$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A x - 2 A = - B + 2 x - 1$

Schritt 4.2

Faktorisiere $A$ aus $A x - 2 A$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $A$ aus $A x$ heraus.

$A (x) - 2 A = - B + 2 x - 1$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $A$ aus $- 2 A$ heraus.

$A (x) + A \cdot - 2 = - B + 2 x - 1$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $A$ aus $A (x) + A \cdot - 2$ heraus.

$A (x - 2) = - B + 2 x - 1$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $A (x - 2) = - B + 2 x - 1$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $A (x - 2) = - B + 2 x - 1$ durch $x - 2$ .

$\frac{A (x - 2)}{x - 2} = \frac{- B}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{A (x - 2)}{x - 2} = \frac{- B}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- B}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- B + 2 x}{x - 2} - \frac{1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- B + 2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- B$ heraus.

$A = \frac{- (B) + 2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$A = \frac{- (B) - (- 2 x) - 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (B) - (- 2 x)$ heraus.

$A = \frac{- (B - 2 x) - 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$A = \frac{- (B - 2 x) - 1 (1)}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (B - 2 x) - 1 (1)$ heraus.

$A = \frac{- (B - 2 x + 1)}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.2.8.1

Schreibe $- (B - 2 x + 1)$ als $- 1 (B - 2 x + 1)$ um.

$A = \frac{- 1 (B - 2 x + 1)}{x - 2}$

Schritt 4.3.3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B - 2 x + 1}{x - 2}$