Elementarmathematik Beispiele

$2^{x} \cdot 5^{x} = 100$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x} \cdot 5^{x}) = \ln (100)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (2^{x} \cdot 5^{x})$ als $\ln (2^{x}) + \ln (5^{x})$ um.

$\ln (2^{x}) + \ln (5^{x}) = \ln (100)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) + \ln (5^{x}) = \ln (100)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (100)$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (5) - \ln (100) = 0$

Schritt 4

Addiere $\ln (100)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (100)$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x \ln (5) = \ln (100)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (100)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (\ln (5))$ heraus.

$x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$ durch $\ln (2) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (5)) = \ln (100)$ durch $\ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (5))}{\ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) + \ln (5)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (5))}{\ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (100)}{\ln (2) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 2$