Elementarmathematik Beispiele

$\frac{25}{\sqrt[4]{5^{x}}} = (\frac{1}{125^{x}})$

Schritt 1

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$1 \cdot (\sqrt[4]{5^{x}}) = 25 \cdot (125^{x})$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\sqrt[4]{5^{x}}$ mit $1$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 25 \cdot (125^{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $25 (125^{x})$ .

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot 125^{x}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{x}$

Schritt 1.3.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot 5^{3 x}$

Schritt 1.3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2 + 3 x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{5^{x}}}^{4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{5^{x}}$ als $5^{\frac{x}{4}}$ neu zu schreiben.

${(5^{\frac{x}{4}})}^{4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{x}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{x}{4} \cdot 4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{\frac{x}{4} \cdot 4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5^{x} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{2 + 3 x})}^{4}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x} = 5^{(2 + 3 x) \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5^{x} = 5^{2 \cdot 4 + 3 x \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$5^{x} = 5^{8 + 3 x \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$5^{x} = 5^{8 + 12 x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 8 + 12 x$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 12 x = 8$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $12 x$ von $x$ .

$- 11 x = 8$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 11 x = 8$ durch $- 11$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 11 x = 8$ durch $- 11$ .

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{8}{- 11}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 11$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{8}{- 11}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{- 11}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{11}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{8}{11}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{72}$