Elementarmathematik Beispiele

$10^{2} = 5^{x - 4}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $5^{x - 4} = 10^{2}$ um.

$5^{x - 4} = 10^{2}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x - 4}) = \ln (10^{2})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x - 4})$ durch Herausziehen von $x - 4$ aus dem Logarithmus.

$(x - 4) \ln (5) = \ln (10^{2})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 4 \ln (5) = \ln (10^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x \ln (5) - 4 \ln (5) = \ln (100)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (5) - 4 \ln (5) - \ln (100) = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $4 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - \ln (100) = 4 \ln (5)$

Schritt 7.2

Addiere $\ln (100)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) = 4 \ln (5) + \ln (100)$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 4 \ln (5) + \ln (100)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 4 \ln (5) + \ln (100)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$x = 4 + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 4 + \frac{\ln (100)}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 6.86135311 \dots$