Elementarmathematik Beispiele

$10^{1 - x} = 4^{x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (10^{1 - x}) = \ln (4^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (10^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) \ln (10) = \ln (4^{x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) \ln (10) = x \ln (4)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(1 - x) \ln (10)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 - x) \ln (10) = x \ln (4)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 - x) \ln (10) = x \ln (4)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (10) - x \ln (10) = x \ln (4)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (10)$ mit $1$ .

$\ln (10) - x \ln (10) = x \ln (4)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $x \ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (10) - x \ln (10) - x \ln (4) = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\ln (10)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (10) - x \ln (4) = - \ln (10)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (10) - x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (10)$ heraus.

$x (- 1 \ln (10)) - x \ln (4) = - \ln (10)$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4)$ heraus.

$x (- 1 \ln (10)) + x (- 1 \ln (4)) = - \ln (10)$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (10)) + x (- 1 \ln (4))$ heraus.

$x (- 1 \ln (10) - 1 \ln (4)) = - \ln (10)$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1 \ln (10)$ als $- \ln (10)$ um.

$x (- \ln (10) - 1 \ln (4)) = - \ln (10)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (4)$ als $- \ln (4)$ um.

$x (- \ln (10) - \ln (4)) = - \ln (10)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (10) - \ln (4)) = - \ln (10)$ durch $- \ln (10) - \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (10) - \ln (4)) = - \ln (10)$ durch $- \ln (10) - \ln (4)$ .

$\frac{x (- \ln (10) - \ln (4))}{- \ln (10) - \ln (4)} = \frac{- \ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (10) - \ln (4)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (10) - \ln (4))}{- \ln (10) - \ln (4)} = \frac{- \ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (10)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (10)}{- \ln (10) - \ln (4)}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (10) - \ln (4)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (10)}{- (\ln (10) + \ln (4))}$

Schritt 4.7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.5.1

Schreibe $- (\ln (10) + \ln (4))$ als $- 1 (\ln (10) + \ln (4))$ um.

$x = - \frac{\ln (10)}{- 1 (\ln (10) + \ln (4))}$

Schritt 4.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{\ln (10)}{\ln (10) + \ln (4)}$

Schritt 4.7.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (10)}{\ln (10) + \ln (4)}$

Schritt 4.7.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{\ln (10)}{\ln (10) + \ln (4)}$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (10)}{\ln (10) + \ln (4)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (10)}{\ln (10) + \ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 0.62419635 \dots$