Elementarmathematik Beispiele

$| x + 1 | = x^{2} - 5$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (x^{2} - 5)$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 1 = x^{2} - 5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - x^{2} = - 5$

Schritt 2.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $5$ .

$x - x^{2} + 6 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x - x^{2} + 6$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.5.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 2.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.8

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$

Schritt 2.10

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

Schritt 2.11

Vereinfache $- (x^{2} - 5)$ .

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Schritt 2.11.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 - (x^{2} - 5)$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

Schritt 2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = - x^{2} - - 5$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x + 1 = - x^{2} + 5$

Schritt 2.12

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + x^{2} = 5$

Schritt 2.13

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + x^{2} - 5 = 0$

Schritt 2.13.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$x + x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.14

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.15

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.16

Vereinfache.

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Schritt 2.16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.16.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.16.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.16.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.16.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.16.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.17

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.18

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 2, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $| x + 1 | = x^{2} - 5$ nicht erfüllen.

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3, - 2.56155281 \dots$