Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4}{3^{1 - x}} = 5^{x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{4}{3^{1 - x}}) = \ln (5^{x})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{4}{3^{1 - x}})$ als $\ln (4) - \ln (3^{1 - x})$ um.

$\ln (4) - \ln (3^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) - ((1 - x) \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Schritt 4

Entferne die Klammern.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = \ln (5^{x})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) - (1 - x) \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4) + (- 1 \cdot 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.1.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (4) + (- 1 + 1 x) \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (4) + (- 1 + x) \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4) - 1 \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.1.5

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$\ln (4) - \ln (3) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{3}) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 6.1.3

Stelle $\ln (\frac{4}{3})$ und $x \ln (3)$ um.

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) = x \ln (5)$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (3) + \ln (\frac{4}{3}) - x \ln (5) = 0$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\ln (\frac{4}{3})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 6.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{4}{3})$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 6.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.56317079 \dots$