Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2^{x^{2}}}{64^{x}} = 128$

Schritt 1

Bringe $64^{x}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 64^{- x} = 128$

Schritt 2

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$2^{x^{2}} \cdot {(2^{6})}^{- x} = 128$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{6})}^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{6 (- x)} = 128$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{- 6 x} = 128$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{x^{2} - 6 x} = 128$

Schritt 5

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x^{2} - 6 x} = 2^{7}$

Schritt 6

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} - 6 x = 7$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 7.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Schritt 7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 1$