Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 144}{19} = 12 + x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $19$ .

$\frac{x^{2} - 144}{19} \cdot 19 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{x^{2} - 144}{19} \cdot 19$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 12^{2}}{19} \cdot 19 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 12$ .

$\frac{(x + 12) (x - 12)}{19} \cdot 19 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 12) (x - 12)}{19} \cdot 19 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 12) (x - 12) = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $(x + 12) (x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 12) + 12 (x - 12) = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 (x - 12) = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12$ .

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Schritt 2.1.1.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 12$ und $12 x$ neu an.

$x \cdot x - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 12 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.4.1.2

Addiere $- 12 x$ und $12 x$ .

$x \cdot x + 0 + 12 \cdot - 12 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + 12 \cdot - 12 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 12 \cdot - 12 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 12$ .

$x^{2} - 144 = (12 + x) \cdot 19$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(12 + x) \cdot 19$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 144 = 12 \cdot 19 + x \cdot 19$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $19$ .

$x^{2} - 144 = 228 + x \cdot 19$

Schritt 2.2.1.2.2

Bringe $19$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 144 = 228 + 19 \cdot x$

Schritt 2.2.1.2.3

Stelle $228$ und $19 x$ um.

$x^{2} - 144 = 19 x + 228$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $19 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 144 - 19 x = 228$

Schritt 3.2

Subtrahiere $228$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 144 - 19 x - 228 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $228$ von $- 144$ .

$x^{2} - 19 x - 372 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 19 x - 372$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 372$ und deren Summe $- 19$ ist.

$- 31, 12$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 31) (x + 12) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 31 = 0$

$x + 12 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 31$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 31$ gleich $0$ .

$x - 31 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $31$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 31$

Schritt 3.7

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 31) (x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 31, - 12$