Elementarmathematik Beispiele

${(e^{x})}^{x} \cdot e^{45} = e^{14 x}$

Schritt 1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x \cdot x} \cdot e^{45} = e^{14 x}$

Schritt 2

Multipliziere $e^{x \cdot x}$ mit $e^{45}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x \cdot x + 45} = e^{14 x}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$e^{x^{2} + 45} = e^{14 x}$

Schritt 3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} + 45 = 14 x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $14 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 45 - 14 x = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} + 45 - 14 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $45$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 9, - 5$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 9) (x - 5) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 4.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 9, 5$