Elementarmathematik Beispiele

${\log_{6}}^{2} (x) = \log_{6} (x)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

${\log_{6}}^{2} (x) = \log_{6} (x)$

Schritt 2

Subtrahiere $\log_{6} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${\log_{6}}^{2} (x) - \log_{6} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Es sei $u = \log_{6} (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\log_{6} (x)$ .

$u^{2} - u = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - u = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 1$ heraus.

$u (u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\log_{6} (x)$ .

$\log_{6} (x) (\log_{6} (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\log_{6} (x) = 0$

$\log_{6} (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\log_{6} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\log_{6} (x)$ gleich $0$ .

$\log_{6} (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\log_{6} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\log_{6} (x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{0} = x$

Schritt 5.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x = 6^{0}$ um.

$x = 6^{0}$

Schritt 5.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 6

Setze $\log_{6} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\log_{6} (x) - 1$ gleich $0$ .

$\log_{6} (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\log_{6} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{6} (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Schreibe $\log_{6} (x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x$

Schritt 6.2.3

Schreibe die Gleichung als $x = 6^{1}$ um.

$x = 6$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\log_{6} (x) (\log_{6} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 6$