Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ durch Herausziehen von $6 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{4}{5})$ als $\ln (4) - \ln (5)$ um.

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

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Schritt 3.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\ln (\frac{4}{5})$ mit $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $\ln (\frac{16}{25})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ durch $6 \ln (\frac{4}{5})$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ durch $6 \ln (\frac{4}{5})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{4}{5})$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{3}$