Elementarmathematik Beispiele

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Schritt 2.2

Multipliziere $2^{2 x}$ mit $2^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Schritt 2.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (2^{4 x})$ durch Herausziehen von $4 x$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Schritt 3.1.3

Stelle die Faktoren in $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ um.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ und $c = - \ln (8)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.2

Es sei $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Ersetze $u$ für alle $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 \ln (2)$ an.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16 \ln^{2} (2)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.4

Ersetze alle $u$ durch $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $4 \ln (2)$ aus $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $4 \ln (2)$ aus $4 \ln^{2} (2)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $4 \ln (2)$ aus $4 \ln (2) \ln (8)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $4 \ln (2)$ aus $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.8

Schreibe $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ als ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ um.

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Schritt 7.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 1.5, - 0.5$