Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{2}{3})}^{x} = 5^{1 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x}) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (5^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $x (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + x (- \ln (3)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \ln (2) - x \ln (3) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5.2

Vereinfache $(1 - x) \ln (5)$ .

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) - x \ln (3) = 1 \ln (5) - x \ln (5)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) = \ln (5) - x \ln (5)$

Schritt 5.3

Addiere $x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - x \ln (3) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) - x \ln (3) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) - x \ln (3) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2) - 1 \ln (3)) + x (\ln (5))$ heraus.

$x (\ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$ durch $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)) = \ln (5)$ durch $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5))}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3) + \ln (5))}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) - \ln (3) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 1.33677264 \dots$