Elementarmathematik Beispiele

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x - 5) = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x) - - 5 = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x - - 5 = 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.3

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $12$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.8

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.10

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125 - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 x$ von $150 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 125 + 5 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $- 125$ und $5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Schritt 2.5

Schreibe $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$4 (2 x^{3}) - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60 x^{2}$ heraus.

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 148 x - 120 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $148 x$ heraus.

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) - 120 = 0$

Schritt 2.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 120$ heraus.

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Schritt 2.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2})$ heraus.

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Schritt 2.5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x)$ heraus.

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30) = 0$

Schritt 2.5.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30)$ heraus.

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30) = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.5.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.5.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

Schritt 2.5.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.5.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 2^{3} - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \cdot 8 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 15 \cdot 4 + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.5

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$16 - 60 + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.6

Subtrahiere $60$ von $16$ .

$- 44 + 37 \cdot 2 - 30$

Schritt 2.5.2.3.7

Mutltipliziere $37$ mit $2$ .

$- 44 + 74 - 30$

Schritt 2.5.2.3.8

Addiere $- 44$ und $74$ .

$30 - 30$

Schritt 2.5.2.3.9

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$0$

Schritt 2.5.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30}{x - 2}$

Schritt 2.5.2.5

Dividiere $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.5.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$37 x$

$30$

Schritt 2.5.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$

Schritt 2.5.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.5.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.5.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Schritt 2.5.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Schritt 2.5.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Schritt 2.5.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Schritt 2.5.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x^{2} + 22 x$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Schritt 2.5.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$

Schritt 2.5.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Schritt 2.5.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Schritt 2.5.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Schritt 2.5.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x - 30$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Schritt 2.5.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

Schritt 2.5.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 11 x + 15$

Schritt 2.5.2.6

Schreibe $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.5.3.1.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 5$ plus $- 6$

$4 ((x - 2) (2 x^{2} + (- 5 - 6) x + 15)) = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15)) = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) - 6 x + 15)) = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 ((x - 2) (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5))) = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$4 ((x - 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ((x - 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Dezimalform:

$x = 2, 2.5, 3$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2, 2 \frac{1}{2}, 3$