Elementarmathematik Beispiele

${(8 x - 7)}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${({(8 x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache ${({(8 x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 x - 7)}^{1} = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

$8 x - 7 = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 7 = x^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x - 7 = x^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x - 7 = x^{2}$

Schritt 4

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 7 - x^{2} = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x - 7 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.1.1.1

Bewege $- 7$ .

$8 x - x^{2} - 7 = 0$

Schritt 5.1.1.2

Stelle $8 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 8 x - 7 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 8 x - 7 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 7 = 0$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 8 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 8 x) - 1 (7)$ heraus.

$- (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 7, - 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 7) (x - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 7) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 1$