Elementarmathematik Beispiele

${(8 x)}^{- 3} = 64$

Schritt 1

Vereinfache ${(8 x)}^{- 3}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

Schritt 1.2.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$512 x^{3}, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$512 x^{3}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ mit $512 x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ mit $512 x^{3}$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $512$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $512$ aus $512 x^{3}$ heraus.

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 64 (512 x^{3})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $512$ mit $64$ .

$1 = 32768 x^{3}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $32768 x^{3} = 1$ um.

$32768 x^{3} = 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32768 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $32768 x^{3}$ als ${(32 x)}^{3}$ um.

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 32 x$ und $b = 1$ .

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $32 x$ an.

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Potenziere $32$ mit $2$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Schritt 4.5

Setze $32 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $32 x - 1$ gleich $0$ .

$32 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $32 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 x = 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $32 x = 1$ durch $32$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $32 x = 1$ durch $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{32}$

Schritt 4.6

Setze $1024 x^{2} + 32 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $1024 x^{2} + 32 x + 1$ gleich $0$ .

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1024$ , $b = 32$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.2.3.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ .

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Schritt 4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4096$ mit $1$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4096$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3072$ als $- 1 (3072)$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3072)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.7

Schreibe $3072$ als $32^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $1024$ aus $3072$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.1.9

Bringe $32$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

Schritt 4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

Schritt 4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

Schritt 4.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$