Elementarmathematik Beispiele

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}} = {(3 x)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${({(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}})}^{5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 3)}^{2} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache ${({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

${(2 x - 3)}^{2} = 3 x$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 x - 3)}^{2} - 3 x = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe ${(2 x - 3)}^{2}$ als $(2 x - 3) (2 x - 3)$ um.

$(2 x - 3) (2 x - 3) - 3 x = 0$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(2 x - 3) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3) - 3 x = 0$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3) - 3 x = 0$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9 - 3 x = 0$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 3 x = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3 x$ von $- 12 x$ .

$4 x^{2} - 15 x + 9 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 x$ heraus.

$4 x^{2} - 15 x + 9 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 3$ plus $- 12$

$4 x^{2} + (- 3 - 12) x + 9 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 3 x - 12 x + 9 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 3 x) - 12 x + 9 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 3) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 7

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 7.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, 3$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{4}, 3$

Dezimalform:

$x = 0.75, 3$