Elementarmathematik Beispiele

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (u)$ durch $\cot^{2} (u) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Bewege $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.2

Ordne Terme um.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1.1

Schreibe $\csc (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (u)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.4

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.1.4.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.4.2

Stelle $\cos (u)$ und $\sec (u)$ um.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.4.3

Schreibe $- \cos (u) \sec (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.2.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ als ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.4.2.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (u)}$ nach $\csc (u)$ um.

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Schritt 4

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Schritt 5.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Schritt 5.3

Löse $\cot (u) = \cot (u)$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$u = u$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u - u = 0$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $u$ von $u$ .

$0 = 0$

Schritt 5.3.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5.4

Löse $\cot (u) = - \cot (u)$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die $\cot (u)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Addiere $\cot (u)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Schritt 5.4.1.2

Addiere $\cot (u)$ und $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cot (u) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cot (u) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $\cot (u)$ durch $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cot (u) = 0$

Schritt 5.4.3

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$u = arccot (0)$

Schritt 5.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Schritt 5.4.5

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$u = π + \frac{π}{2}$

Schritt 5.4.6

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.4.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.4.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.4.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 5.4.6.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.4.7

Ermittele die Periode von $\cot (u)$ .

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Schritt 5.4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.4.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.4.8

Die Periode der Funktion $\cot (u)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$