Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = v$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 2.7

Der Teiler von $v - 1$ ist $v - 1$ selbst.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $v + 1$ ist $v + 1$ selbst.

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Der Teiler von $v - 1$ ist $v - 1$ selbst.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.10

Das kgV von $v - 1, v + 1, v - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(v - 1) (v + 1)$

Schritt 2.11

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$4 (v - 1) (v + 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ mit $4 (v - 1) (v + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ mit $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v - 1$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(v - 1) (v + 1)$ .

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Schritt 3.2.1.9.1

Faktorisiere $(v - 1) (v + 1)$ aus $(v + 1) (v - 1)$ heraus.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 (v - 1) (v + 1)$ heraus.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $(v - 1) (v + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Schritt 3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Schritt 3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $v \cdot 1$ und $- 1 v$ neu an.

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.2

Subtrahiere $1 v$ von $1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.3

Addiere $v \cdot v$ und $0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.2.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $v^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.3

Addiere $14$ und $1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 v - v^{2} + 15$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Stelle $2 v$ und $- v^{2}$ um.

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- v^{2}$ heraus.

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 v$ heraus.

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (v^{2}) - (- 2 v)$ heraus.

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.4.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ heraus.

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $v^{2} - 2 v - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Schritt 4.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Schritt 4.6

Setze $v - 5$ gleich $0$ und löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $v - 5$ gleich $0$ .

$v - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = 5$

Schritt 4.7

Setze $v + 3$ gleich $0$ und löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $v + 3$ gleich $0$ .

$v + 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$v = - 3$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (v - 5) (v + 3) = 0$ wahr machen.

$v = 5, - 3$