Elementarmathematik Beispiele

$(5) (8^{x}) = (6) (11^{x})$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5 \cdot 8^{x}) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (5 \cdot 8^{x})$ als $\ln (5) + \ln (8^{x})$ um.

$\ln (5) + \ln (8^{x}) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (8^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6 \cdot 11^{x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (6 \cdot 11^{x})$ als $\ln (6) + \ln (11^{x})$ um.

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6) + \ln (11^{x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (11^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + x \ln (8) = \ln (6) + x \ln (11)$

Schritt 4

Stelle $\ln (5)$ und $x \ln (8)$ um.

$x \ln (8) + \ln (5) = \ln (6) + x \ln (11)$

Schritt 5

Stelle $\ln (6)$ und $x \ln (11)$ um.

$x \ln (8) + \ln (5) = x \ln (11) + \ln (6)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (8) + \ln (5) - x \ln (11) - \ln (6) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) - x \ln (11) + \ln (\frac{5}{6}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{5}{6})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (8) - x \ln (11) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (8) - x \ln (11)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (8)$ heraus.

$x (\ln (8)) - x \ln (11) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (11)$ heraus.

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (11))$ heraus.

$x (\ln (8) - 1 \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 10

Schreibe $- 1 \ln (11)$ als $- \ln (11)$ um.

$x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$ durch $\ln (8) - \ln (11)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (8) - \ln (11)) = - \ln (\frac{5}{6})$ durch $\ln (8) - \ln (11)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (11))}{\ln (8) - \ln (11)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8) - \ln (11)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (11))}{\ln (8) - \ln (11)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (8) - \ln (11)}$

Dezimalform:

$x = - 0.57252133 \dots$