Elementarmathematik Beispiele

$(3^{4}) (5^{3 x - 2}) = (2^{5 - 2 x}) (7^{3})$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{4} \cdot 5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (3^{4} \cdot 5^{3 x - 2})$ als $\ln (3^{4}) + \ln (5^{3 x - 2})$ um.

$\ln (3^{4}) + \ln (5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (3^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$4 \ln (3) + \ln (5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (5^{3 x - 2})$ durch Herausziehen von $3 x - 2$ aus dem Logarithmus.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$ als $\ln (2^{5 - 2 x}) + \ln (7^{3})$ um.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = \ln (2^{5 - 2 x}) + \ln (7^{3})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (2^{5 - 2 x})$ durch Herausziehen von $5 - 2 x$ aus dem Logarithmus.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + \ln (7^{3})$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (7^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \ln (3) + 3 x \ln (5) - 2 \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \ln (3) + 3 x \ln (5) - 2 \ln (5) = 5 \ln (2) - 2 x \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 6

Stelle $4 \ln (3)$ und $3 x \ln (5)$ um.

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) = 5 \ln (2) - 2 x \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 7

Stelle $5 \ln (2)$ und $- 2 x \ln (2)$ um.

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) = - 2 x \ln (2) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = 0$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $4 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) - 2 \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3)$

Schritt 9.2

Addiere $2 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Schritt 9.3

Addiere $5 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)$

Schritt 9.4

Addiere $3 \ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 10

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (5) + 2 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (5)$ heraus.

$x (3 \ln (5)) + 2 x \ln (2) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (2)$ heraus.

$x (3 \ln (5)) + x (2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 \ln (5)) + x (2 \ln (2))$ heraus.

$x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$ durch $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$ durch $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (3 \ln (5) + 2 \ln (2))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \ln (3) + 2 \ln (5)$ heraus.

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Schritt 11.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3) + \ln (5))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3) + \ln (5)) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3)) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3)) - (- 2 \ln (5)) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (3)) - (- 2 \ln (5))$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) - (- 5 \ln (2)) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) - (- 5 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) - (- 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) - (- 3 \ln (7))$ heraus.

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.3.3.9.1

Schreibe $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))$ als $- 1 (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))$ um.

$x = \frac{- 1 (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 11.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 1.30786895 \dots$