Elementarmathematik Beispiele

$w = \frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} = w$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} \cdot 2 = w \cdot 2$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} \cdot 2 = w \cdot 2$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 - 3 w} = w \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $w$ .

$\sqrt{1 - 3 w} = 2 w$

Schritt 4

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - 3 w}}^{2} = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 3 w}$ als ${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - 3 w)}^{1} = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$1 - 3 w = {(2 w)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache ${(2 w)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 w$ an.

$1 - 3 w = 2^{2} w^{2}$

Schritt 4.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - 3 w = 4 w^{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $4 w^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 3 w - 4 w^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $1 - 3 w - 4 w^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Bewege $1$ .

$- 3 w - 4 w^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Stelle $- 3 w$ und $- 4 w^{2}$ um.

$- 4 w^{2} - 3 w + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 w^{2}$ heraus.

$- (4 w^{2}) - 3 w + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 w$ heraus.

$- (4 w^{2}) - (3 w) + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (4 w^{2}) - (3 w) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 w^{2}) - (3 w)$ heraus.

$- (4 w^{2} + 3 w) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 w^{2} + 3 w) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (4 w^{2} + 3 w - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 w$ heraus.

$- (4 w^{2} + 3 (w) - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$- (4 w^{2} + (- 1 + 4) w - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 w^{2} - 1 w + 4 w - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 w^{2} - 1 w) + 4 w - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (w (4 w - 1) + 1 (4 w - 1)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 w - 1$ .

$- ((4 w - 1) (w + 1)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (4 w - 1) (w + 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 w - 1 = 0$

$w + 1 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $4 w - 1$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $4 w - 1$ gleich $0$ .

$4 w - 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse $4 w - 1 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 w = 1$

Schritt 4.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 w = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 w = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 w}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.5

Setze $w + 1$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Setze $w + 1$ gleich $0$ .

$w + 1 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = - 1$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (4 w - 1) (w + 1) = 0$ wahr machen.

$w = \frac{1}{4}, - 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $w = \frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2}$ nicht erfüllen.

$w = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$w = \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$w = 0.25$