Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt[9]{125}}{25^{- 1}} = 25^{2 - w}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $25^{2 - w} = \frac{\sqrt[9]{125}}{25^{- 1}}$ um.

$25^{2 - w} = \frac{\sqrt[9]{125}}{25^{- 1}}$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{125}$ als $125^{\frac{1}{9}}$ neu zu schreiben.

$25^{2 - w} = \frac{125^{\frac{1}{9}}}{25^{- 1}}$

Schritt 3

Bringe $25^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$25^{2 - w} = 125^{\frac{1}{9}} \cdot 25$

Schritt 4

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$25^{2 - w} = {(5^{3})}^{\frac{1}{9}} \cdot 25$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{3})}^{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25^{2 - w} = 5^{3 (\frac{1}{9})} \cdot 25$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$25^{2 - w} = 5^{3 \frac{1}{3 (3)}} \cdot 25$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25^{2 - w} = 5^{3 \frac{1}{3 \cdot 3}} \cdot 25$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 25$

Schritt 6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1}{3} + 2}$

Schritt 8

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 9

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$25^{2 - w} = 5^{\frac{1 + 6}{3}}$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $6$ .

$25^{2 - w} = 5^{\frac{7}{3}}$

Schritt 12

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{2 (2 - w)} = 5^{\frac{7}{3}}$

Schritt 13

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 (2 - w) = \frac{7}{3}$

Schritt 14

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - w) = \frac{7}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - w) = \frac{7}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 - w)}{2} = \frac{\frac{7}{3}}{2}$

Schritt 14.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 - w)}{2} = \frac{\frac{7}{3}}{2}$

Schritt 14.1.2.1.2

Dividiere $2 - w$ durch $1$ .

$2 - w = \frac{\frac{7}{3}}{2}$

Schritt 14.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 - w = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 14.1.3.2

Multipliziere $\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 14.1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 - w = \frac{7}{3 \cdot 2}$

Schritt 14.1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 - w = \frac{7}{6}$

Schritt 14.2

Bringe alle Terme, die nicht $w$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- w = \frac{7}{6} - 2$

Schritt 14.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- w = \frac{7}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6}{6}$ .

$- w = \frac{7}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Schritt 14.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- w = \frac{7 - 2 \cdot 6}{6}$

Schritt 14.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$- w = \frac{7 - 12}{6}$

Schritt 14.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $7$ .

$- w = \frac{- 5}{6}$

Schritt 14.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- w = - \frac{5}{6}$

Schritt 14.3

Teile jeden Ausdruck in $- w = - \frac{5}{6}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- w = - \frac{5}{6}$ durch $- 1$ .

$\frac{- w}{- 1} = \frac{- \frac{5}{6}}{- 1}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{w}{1} = \frac{- \frac{5}{6}}{- 1}$

Schritt 14.3.2.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{- \frac{5}{6}}{- 1}$

Schritt 14.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$w = \frac{\frac{5}{6}}{1}$

Schritt 14.3.3.2

Dividiere $\frac{5}{6}$ durch $1$ .

$w = \frac{5}{6}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$w = \frac{5}{6}$

Dezimalform:

$w = 0.8\overline{3}$