Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{s + 45}{s + 5}) = \log_{3} (s)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{s + 45}{s + 5} = s$

Schritt 3

Löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$s + 5, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$s + 5, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$s + 5$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ mit $s + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ mit $s + 5$ .

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s + 5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$s + 45 = s (s + 5)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s + 45 = s \cdot s + s \cdot 5$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$s + 45 = s^{2} + s \cdot 5$

Schritt 3.2.3.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $s$ .

$s + 45 = s^{2} + 5 s$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $s$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$s^{2} + 5 s = s + 45$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $s$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $s$ von beiden Seiten der Gleichung.

$s^{2} + 5 s - s = 45$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $s$ von $5 s$ .

$s^{2} + 4 s = 45$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $45$ von beiden Seiten der Gleichung.

$s^{2} + 4 s - 45 = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $s^{2} + 4 s - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $4$ ist.

$- 5, 9$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(s - 5) (s + 9) = 0$

Schritt 3.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$s - 5 = 0$

$s + 9 = 0$

Schritt 3.3.6

Setze $s - 5$ gleich $0$ und löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $s - 5$ gleich $0$ .

$s - 5 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$s = 5$

Schritt 3.3.7

Setze $s + 9$ gleich $0$ und löse nach $s$ auf.

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Schritt 3.3.7.1

Setze $s + 9$ gleich $0$ .

$s + 9 = 0$

Schritt 3.3.7.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$s = - 9$

Schritt 3.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(s - 5) (s + 9) = 0$ wahr machen.

$s = 5, - 9$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$ nicht erfüllen.

$s = 5$