Elementarmathematik Beispiele

$A = 2 p r (r + h)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 p r (r + h) = A$ um.

$2 p r (r + h) = A$

Schritt 2

Vereinfache $2 p r (r + h)$ .

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p r \cdot r + 2 p r h = A$

Schritt 2.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $r$ .

$2 p (r \cdot r) + 2 p r h = A$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$2 p r^{2} + 2 p r h = A$

Schritt 3

Subtrahiere $A$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 p r^{2} + 2 p r h - A = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2 p$ , $b = 2 p h$ und $c = - A$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 p h)}^{2} - 4 \cdot (2 p \cdot (- A))}}{2 (2 p)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 (p h))}^{2} - 4 \cdot (2 (p \cdot (- A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.2

Es sei $u = 2 (p \cdot (- A))$ . Ersetze $u$ für alle $2 (p \cdot (- A))$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 p h$ an.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 p)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 p$ an.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} p^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 p^{2} h^{2} - 4 u}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 p^{2} h^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 p^{2} h^{2}$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (p^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - u)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.4

Ersetze alle $u$ durch $2 (p \cdot (- A))$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (2 (p \cdot (- A))))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (2 (- p A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (- 2 (p A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} + 2 p A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} h^{2} + 2 p A$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} h^{2}$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2}) + 2 p A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $p$ aus $2 p A$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2}) + p (2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $p$ aus $p (p h^{2}) + p (2 A)$ heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2} + 2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $4 p (p h^{2} + 2 A)$ als $2^{2} (p (p h^{2} + 2 A))$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} (p (p h^{2} + 2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{4 p}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{4 p}$ .

$r = \frac{- p h \pm \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{p h - \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$

$r = - \frac{p h + \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$