Elementarmathematik Beispiele

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ um.

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(r + R)}^{2}, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(r + R)}^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ mit ${(r + R)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ mit ${(r + R)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(r + R)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache $p {(r + R)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe ${(r + R)}^{2}$ als $(r + R) (r + R)$ um.

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $(r + R) (r + R)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere $R$ mit $R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $r R$ und $R r$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Stelle $R$ und $r$ um.

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

Schritt 4.1.3.2.2

Addiere $r R$ und $r R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

Schritt 4.2

Da $R$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

Schritt 4.3

Subtrahiere $a^{2} R$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = p$ , $b = 2 p r - a^{2}$ und $c = p r^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $R$ auf.

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Schritt 4.6.3

Multipliziere $- - a^{2}$ .

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Schritt 4.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Schritt 4.6.3.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Schritt 4.6.4

Schreibe $4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ als ${(2 p r)}^{2}$ um.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

Schritt 4.6.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 p r - a^{2}$ und $b = 2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.6.1

Addiere $2 p r$ und $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.6.3

Subtrahiere $2 p r$ von $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

Schritt 4.6.6.4

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

Schritt 4.6.6.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

Schritt 4.6.7

Schreibe $- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ als $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ um.

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Schritt 4.6.7.1

Bewege $- a^{2} + 4 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Schritt 4.6.7.2

Stelle $- 1$ und $a^{2}$ um.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.7.4

Füge Klammern hinzu.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Schritt 4.6.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

Schritt 4.6.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$