Elementarmathematik Beispiele

$20000 {(0.92)}^{t} = 16000 {(0.93)}^{t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (20000 \cdot {0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (20000 \cdot {0.92}^{t})$ als $\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t})$ um.

$\ln (20000) + \ln ({0.92}^{t}) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({0.92}^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (16000 \cdot {0.93}^{t})$ als $\ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$ um.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + \ln ({0.93}^{t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({0.93}^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (20000) + t \ln (0.92) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Schritt 4

Stelle $\ln (20000)$ und $t \ln (0.92)$ um.

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = \ln (16000) + t \ln (0.93)$

Schritt 5

Stelle $\ln (16000)$ und $t \ln (0.93)$ um.

$t \ln (0.92) + \ln (20000) = t \ln (0.93) + \ln (16000)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$t \ln (0.92) + \ln (20000) - t \ln (0.93) - \ln (16000) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{20000}{16000}) = 0$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20000$ und $16000$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $4000$ aus $20000$ heraus.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 (5)}{16000}) = 0$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $4000$ aus $16000$ heraus.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{4000 \cdot 5}{4000 \cdot 4}) = 0$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) + \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $\ln (\frac{5}{4})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t \ln (0.92) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 10

Faktorisiere $t$ aus $t \ln (0.92) - t \ln (0.93)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $t$ aus $t \ln (0.92)$ heraus.

$t (\ln (0.92)) - t \ln (0.93) = - \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 10.2

Faktorisiere $t$ aus $- t \ln (0.93)$ heraus.

$t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 10.3

Faktorisiere $t$ aus $t (\ln (0.92)) + t (- 1 \ln (0.93))$ heraus.

$t (\ln (0.92) - 1 \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 11

Schreibe $- 1 \ln (0.93)$ als $- \ln (0.93)$ um.

$t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ durch $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $t (\ln (0.92) - \ln (0.93)) = - \ln (\frac{5}{4})$ durch $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (0.92) - \ln (0.93)$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (\ln (0.92) - \ln (0.93))}{\ln (0.92) - \ln (0.93)} = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \frac{\ln (\frac{5}{4})}{\ln (0.92) - \ln (0.93)}$

Dezimalform:

$t = 20.64057746 \dots$