Elementarmathematik Beispiele

$4 e^{6 t} = 6 e^{5 t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (4 e^{6 t})$ als $\ln (4) + \ln (e^{6 t})$ um.

$\ln (4) + \ln (e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{6 t})$ durch Herausziehen von $6 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 6 t \ln (e) = \ln (6 e^{5 t})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 6 t \cdot 1 = \ln (6 e^{5 t})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6 e^{5 t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (6 e^{5 t})$ als $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ um.

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + \ln (e^{5 t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{5 t})$ durch Herausziehen von $5 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4) - \ln (6) = - 6 t + 5 t$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{6}) = - 6 t + 5 t$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2)}{6}) = - 6 t + 5 t$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{2}{3}) = - 6 t + 5 t$

Schritt 7

Addiere $- 6 t$ und $5 t$ .

$\ln (\frac{2}{3}) = - t$

Schritt 8

Da $t$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- t = \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- t = \ln (\frac{2}{3})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- t = \ln (\frac{2}{3})$ durch $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 9.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$ als $- \ln (\frac{2}{3})$ um.

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

Dezimalform:

$t = 0.40546510 \dots$