Elementarmathematik Beispiele

$104 = 101.8 - 7 \sin (\frac{π}{8} t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $101.8 - 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 104$ um.

$101.8 - 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 104$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{π}{8} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $101.8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 104 - 101.8$

Schritt 2.2

Subtrahiere $101.8$ von $104$ .

$- 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 2.2$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 2.2$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 \sin (\frac{π}{8} t) = 2.2$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 \sin (\frac{π}{8} t)}{- 7} = \frac{2.2}{- 7}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 \sin (\frac{π}{8} t)}{- 7} = \frac{2.2}{- 7}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π}{8} t)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π}{8} t) = \frac{2.2}{- 7}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $2.2$ durch $- 7$ .

$\sin (\frac{π}{8} t) = - 0.3\overline{142857}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{8} t = \arcsin (- 0.3\overline{142857})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{π}{8}$ und $t$ .

$\frac{π t}{8} = \arcsin (- 0.3\overline{142857})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (- 0.3\overline{142857})$ .

$\frac{π t}{8} = - 0.31970414$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{8}{π}$ .

$\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8} = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8} = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{8}{π} \cdot - 0.31970414$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{8}{π}$ und $- 0.31970414$ .

$t = \frac{8 \cdot - 0.31970414}{π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.31970414$ .

$t = \frac{- 2.55763318}{π}$

Schritt 8.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{2.55763318}{π}$

Schritt 8.2.1.3

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = - \frac{2.55763318}{3.14159265}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $2.55763318$ durch $3.14159265$ .

$t = - 1 \cdot 0.81411992$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.81411992$ .

$t = - 0.81411992$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{8} = 2 (3.14159265) + 0.31970414 + 3.14159265$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.31970414 + 3.14159265$ .

$\frac{π t}{8} = 2 (3.14159265) + 0.31970414 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 10.2

Der resultierende Winkel von $3.4612968$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.31970414 + 3.14159265$ .

$\frac{π t}{8} = 3.4612968$

Schritt 10.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{8}{π}$ .

$\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8} = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8}$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{π} \cdot \frac{π t}{8} = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{8}{π} \cdot 3.4612968$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.2.1

Vereinfache $\frac{8}{π} \cdot 3.4612968$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{8}{π} \cdot 3.4612968$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{8}{π}$ und $3.4612968$ .

$t = \frac{8 \cdot 3.4612968}{π}$

Schritt 10.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $3.4612968$ .

$t = \frac{27.69037441}{π}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{27.69037441}{3.14159265}$

Schritt 10.3.2.2.1.3

Dividiere $27.69037441$ durch $3.14159265$ .

$t = 8.81411992$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π}{8} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{8}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{8} |}$

Schritt 11.3

$\frac{π}{8}$ ist ungefähr $0.39269908$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{8}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{8}{π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 11.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 11.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 11.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 8$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16$

Schritt 12

Addiere $16$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.1

Addiere $16$ zu $- 0.81411992$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.81411992 + 16$

Schritt 12.2

Subtrahiere $0.81411992$ von $16$ .

$15.18588007$

Schritt 12.3

Liste die neuen Winkel auf.

$t = 15.18588007$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π}{8} t)$ ist $16$ , d. h., Werte werden sich alle $16$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 8.81411992 + 16 n, 15.18588007 + 16 n$ , für jede ganze Zahl $n$