Elementarmathematik Beispiele

$104 = 101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104$ um.

$101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{π}{4} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $101.6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104 - 101.6$

Schritt 2.2

Subtrahiere $101.6$ von $104$ .

$- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{π}{4} t)}{- 3} = \frac{2.4}{- 3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sin (\frac{π}{4} t)}{- 3} = \frac{2.4}{- 3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π}{4} t)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} t) = \frac{2.4}{- 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $2.4$ durch $- 3$ .

$\sin (\frac{π}{4} t) = - 0.8$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{4} t = \arcsin (- 0.8)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $t$ .

$\frac{π t}{4} = \arcsin (- 0.8)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (- 0.8)$ .

$\frac{π t}{4} = - 0.92729521$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $- 0.92729521$ .

$t = \frac{4 \cdot - 0.92729521}{π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.92729521$ .

$t = \frac{- 3.70918087}{π}$

Schritt 8.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{3.70918087}{π}$

Schritt 8.2.1.3

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = - \frac{3.70918087}{3.14159265}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $3.70918087$ durch $3.14159265$ .

$t = - 1 \cdot 1.18066894$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.18066894$ .

$t = - 1.18066894$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 10.2

Der resultierende Winkel von $4.06888787$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{π t}{4} = 4.06888787$

Schritt 10.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot 4.06888787$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{π} \cdot 4.06888787$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $4.06888787$ .

$t = \frac{4 \cdot 4.06888787}{π}$

Schritt 10.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4.06888787$ .

$t = \frac{16.27555148}{π}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{16.27555148}{3.14159265}$

Schritt 10.3.2.2.1.3

Dividiere $16.27555148$ durch $3.14159265$ .

$t = 5.18066894$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π}{4} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 11.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 11.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 11.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 11.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 12

Addiere $8$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.1

Addiere $8$ zu $- 1.18066894$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.18066894 + 8$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1.18066894$ von $8$ .

$6.81933105$

Schritt 12.3

Liste die neuen Winkel auf.

$t = 6.81933105$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π}{4} t)$ ist $8$ , d. h., Werte werden sich alle $8$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 5.18066894 + 8 n, 6.81933105 + 8 n$ , für jede ganze Zahl $n$