Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ an.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ an.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ als $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ um.

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Multipliziere $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ als $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ um.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - ((e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.5

Multipliziere $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.3.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.5

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.6

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x})}{4}$

Schritt 3.6.1.8

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.8.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}))}{4}$

Schritt 3.6.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x})}{4}$

Schritt 3.6.1.8.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x})}{4}$

Schritt 3.6.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x})}{4}$

Schritt 3.6.1.10

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x})}{4}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})}{4}$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} - - 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$ .

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $e^{2 x}$ von $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + 2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Schritt 4.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $e^{- 2 x}$ von $e^{- 2 x}$ .

$\frac{2 + 0 + 2}{4}$

Schritt 4.1.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 + 2}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $4$ durch $4$ .

$1$