Elementarmathematik Beispiele

$(5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}) (- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{5})$

Schritt 1

Multipliziere $(5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}) (- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{5})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (- 4 \sqrt{3}) + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{5})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (- 4 \sqrt{3}) + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $5 \sqrt{3} (- 4 \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.1.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$- 20 \sqrt{3} \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 20 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 20 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 20 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 20 {\sqrt{3}}^{2} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 20 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 20 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \cdot 3^{1} + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$- 20 \cdot 3 + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $3$ .

$- 60 + 5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $5 \sqrt{3} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$- 60 - 25 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- 60 - 25 \sqrt{5 \cdot 3} + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $4 \sqrt{5} (- 4 \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{5} \sqrt{3} + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{3 \cdot 5} + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.6

Multipliziere $4 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \sqrt{5} \sqrt{5}$

Schritt 2.1.6.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Schritt 2.1.6.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Schritt 2.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 {\sqrt{5}}^{2}$

Schritt 2.1.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \cdot 5^{1}$

Schritt 2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 20 \cdot 5$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $- 20$ mit $5$ .

$- 60 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15} - 100$

Schritt 2.2

Subtrahiere $100$ von $- 60$ .

$- 160 - 25 \sqrt{15} - 16 \sqrt{15}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $16 \sqrt{15}$ von $- 25 \sqrt{15}$ .

$- 160 - 41 \sqrt{15}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 160 - 41 \sqrt{15}$

Dezimalform:

$- 318.79231719 \dots$