Elementarmathematik Beispiele

${(1 - i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.25.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.26

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.27

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.28

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Schritt 2.1.29

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Schritt 2.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Schritt 2.1.31

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 5 i$ und $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $i$ von $5 i$ .

$- 4 + 4 i$