Elementarmathematik Beispiele

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1.1.4

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ und $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 1.1.5.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 4

Multipliziere $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\sin (θ)$ und $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $- \sin (θ)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 7

Multipliziere $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Schritt 7.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Schritt 8

Subtrahiere $\sin^{2} (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 9

Vereinfache $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 9.4

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Schritt 9.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 9.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.6.1

Wandle von $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ nach $\tan^{2} (θ)$ um.

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 10

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Schritt 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 10.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Schritt 10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (θ) = 1$

Schritt 10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (θ) = - 1$

Schritt 10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Schritt 10.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Schritt 10.6

Löse in $\tan (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 10.6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (1)$

Schritt 10.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.6.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 10.6.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 10.6.4

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 10.6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 10.6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 10.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 10.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 10.6.4.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 10.6.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 10.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.6.6

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.7

Löse in $\tan (θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 10.7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- 1)$

Schritt 10.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.7.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 10.7.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 10.7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.7.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 10.7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.7.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 10.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.7.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.7.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 10.7.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 10.7.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.7.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 10.7.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 10.7.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.7.6.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 10.7.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 10.7.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.7.7

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$