Elementarmathematik Beispiele

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $25^{x}$ als ${(5^{2})}^{x}$ um.

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe ${(5^{2})}^{x}$ als ${(5^{x})}^{2}$ um.

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = 5^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $5^{x}$ .

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $11$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 11, - 1$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $5^{x} - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $5^{x} - 11$ gleich $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Schritt 3.2

Löse $5^{x} - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x} = 11$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Schritt 3.2.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (11)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (11)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Schritt 4

Setze $5^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $5^{x} - 1$ gleich $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $5^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 0$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 0$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (5)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Dezimalform:

$x = 1.48989610 \dots, 0$