Elementarmathematik Beispiele

$4 e^{2 x} = 16 e^{- 6 x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{2 x}) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (4 e^{2 x})$ als $\ln (4) + \ln (e^{2 x})$ um.

$\ln (4) + \ln (e^{2 x}) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 2 x \ln (e) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 2 x \cdot 1 = \ln (16 e^{- 6 x})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16 e^{- 6 x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (16 e^{- 6 x})$ als $\ln (16) + \ln (e^{- 6 x})$ um.

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) + \ln (e^{- 6 x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{- 6 x})$ durch Herausziehen von $- 6 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4) - \ln (16) = - 2 x - 6 x$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{16}) = - 2 x - 6 x$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\ln (\frac{4 (1)}{16}) = - 2 x - 6 x$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}) = - 2 x - 6 x$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}) = - 2 x - 6 x$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{4}) = - 2 x - 6 x$

Schritt 7

Subtrahiere $6 x$ von $- 2 x$ .

$\ln (\frac{1}{4}) = - 8 x$

Schritt 8

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{8}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{8}$

Dezimalform:

$x = 0.17328679 \dots$