Elementarmathematik Beispiele

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $X$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $X$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $X$ von $8 X$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 4.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Schritt 4.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 24$ und $36$ .

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$12 - 14 + 2$

Schritt 4.3.8

Subtrahiere $14$ von $12$ .

$- 2 + 2$

Schritt 4.3.9

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 4.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $X + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

Schritt 4.5

Dividiere $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ durch $X + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

Schritt 4.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 X^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

Schritt 4.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Schritt 4.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 X^{3} + 6 X^{2}$

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Schritt 4.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

Schritt 4.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Schritt 4.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 X^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Schritt 4.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

Schritt 4.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 X^{2} + 6 X$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

Schritt 4.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

Schritt 4.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Schritt 4.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $X$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Schritt 4.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

Schritt 4.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $X + 2$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

Schritt 4.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

Schritt 4.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

Schritt 4.6

Schreibe $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $X + 2$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $X + 2$ gleich $0$ .

$X + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$X = - 2$

Schritt 7

Setze $3 X^{2} + 3 X + 1$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze $3 X^{2} + 3 X + 1$ gleich $0$ .

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ nach $X$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $X$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ wahr machen.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$